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In der `F33f`_`[Graphentheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Graphentheorie]`_`f, einem Teilgebiet der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f, sind `!feine Graphen`! eine Klasse von Graphen mit gewissen lokalen Endlichkeitseigenschaften. Feine Graphen spielen eine Rolle in der `F33f`_`[geometrischen Gruppentheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geometrische_Gruppentheorie]`_`f, insbesondere im Zusammenhang mit `F33f`_`[Hyperbolizität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hyperbolische_Gruppe]`_`f und `F33f`_`[relativer Hyperbolizität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Relativ_hyperbolische_Gruppe]`_`f von Graphen und Gruppen.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Definition

Ein `F33f`_`[Graph`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Graph_(Graphentheorie)]`_`f K = ( V , E ) {\\displaystyle K=(V,E)} heißt `*fein`*, wenn er eine (und damit jede) der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Für jede Kante e ∈ ∈ E {\\displaystyle e\\in E} und jedes n ∈ ∈ N {\\displaystyle n\\in \\mathbb {N} } gibt es nur endlich viele durch e {\\displaystyle e} verlaufende `F33f`_`[Kreise`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zyklus_(Graphentheorie)]`_`f der Länge n {\\displaystyle n} .

• Für alle Knoten x , y ∈ ∈ V {\\displaystyle x,y\\in V} und jedes n ∈ ∈ N {\\displaystyle n\\in \\mathbb {N} } gibt es nur endlich viele x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} verbindende `F33f`_`[Wege`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Weg_(Graphentheorie)]`_`f ohne sich wiederholende Knoten.

• Für alle x , y ∈ ∈ V , n ∈ ∈ N {\\displaystyle x,y\\in V,n\\in \\mathbb {N} } gibt es keine unendliche Menge x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} verbindender paarweise unabhängiger Wege ohne sich wiederholende Knoten der Länge n {\\displaystyle n} . (Hierbei heißen zwei Wege unabhängig, wenn sie nur Anfangs- und Endpunkt gemeinsam haben.)

• Wenn x , y ∈ ∈ V {\\displaystyle x,y\\in V} ein Paar unterschiedlicher Knoten und n ∈ ∈ N {\\displaystyle n\\in \\mathbb {N} } ist und L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} eine kanten-endliche Menge `F33f`_`[zusammenhängender`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zusammenhang_(Graphentheorie)]`_`f `F33f`_`[Teilgraphen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilgraph]`_`f von K {\\displaystyle K} , die alle jeweils n {\\displaystyle n} Knoten haben und x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} enthalten, dann muss L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} endlich sein. (Hierbei heißt eine Menge L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} kantenendlich, wenn jede Kante e ∈ ∈ E {\\displaystyle e\\in E} nur in endlich vielen Teilgraphen aus L {\\displaystyle {\\mathcal {L}}} enthalten ist.)

• Für jeden Knoten x ∈ ∈ V {\\displaystyle x\\in V} ist die `F33f`_`[Nachbarschaft`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nachbarschaft_(Graphentheorie)]`_`f N K ( x ) {\\displaystyle N_{K}(x)} lokal endlich in K − − { x } {\\displaystyle K-\\left\\{x\\right\\}} . (Das heißt, jeder Knoten in N K ( x ) {\\displaystyle N_{K}(x)} ist `*in K − − { x } {\\displaystyle K-\\left\\{x\\right\\}} `* nur zu endlich vielen Knoten aus N K ( x ) {\\displaystyle N_{K}(x)} adjazent.)

>>Beispiele

• Lokal endliche Graphen sind fein.

• Der `F33f`_`[Farey-Graph`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Farey-Graph]`_`f ist fein.

>>Literatur

• Brian Bowditch: Relatively hyperbolic groups. In: Internat. J. Algebra Comput. 22. Jahrgang, Nr. 3, 2012, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1142/S0218196712500166 (soton.ac.uk [PDF]). , Abschnitt 2

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